Gràfiques de funcions implícites

Donada una funció d'una variable, f(x), l'ordre usual per dibuixar-la amb MapleV és ben coneguda. Per exemple, si volem dibuixar la funció $f(x)=\sin(x)\cos(20x)$ en l'interval $[-\pi,\pi]$, escrivim

i obtenim el gràfic de la Figura 7.

  

Figure: Gràfica de la funció $f(x)=\sin(x)\cos(20x)$.

Recordem que aquesta ordre també ens permet dibuixar vàries funcions alhora, incloent-les entre claus. Les funcions d'aquests tipus tenen una expressió explícita, és a dir, tots els punts que formen el lloc geomètric de la gràfica de f venen explícitament definits per (x,f(x)), per a $x\in$Domf.

Noteu que la gràfica de f(x) és una corba plana. Hi ha altres tipus de corbes planes que no es poden definir explícitament de forma global, sino que és necessari definir-les per trosos. Per exemple, si volem definir explícitament la circumferència x²+y²=1, no ho podrem fer per a tots els punts que la formen. Estarem obligats a definir-la per trosos:

$$\begin{eqnarray*}f_+(x)&=&+\sqrt{1-x^2},\\ f_-(x)&=&-\sqrt{1-x^2}, \end{eqnarray*}$$

amb $x\in[-1,1]$ per a cada una de les dues funcions f_- i f₊. Diem que aquesta circumferència ve definida implícitament (de forma global) per l'equació x²+y²=1 i explícitament a trossos per f_- i f₊.

El MapleV té una ordre específica per dibuixar corbes definides de forma implícita, continguda al package plots:

on: expr és l'expressió que defineix la corba (x²+y²=1 en el cas anterior); a,b,c,d són els extrems de les variacions de les variables x i y, respectivament i options són les opcions del gràfic, que segueixen les mateixes regles de qualsevol gràfic de MapleV.

  

Figure: Gràfica de la corba xy=1, per a $(x,y)\in [-3,3]\times [-3,3]$.

Exemple 1   Com és la corba xy=1?

Posem aquesta expressió en la forma (2)

xy-1=0,

això ens diu que a=c=d=e=0, b=1/2 i f=-1. Els invariants d'aquesta cònica són

$$\begin{eqnarray*}\Delta&=&\left\vert\begin{array}{rrr}0&1/2&0\\ 1/2&0&0\\ 0&0&-1... ...ac 14,\\ \delta&=&0^2-\frac 12\frac 12=-\frac 14,\\ S&=&0+0=0. \end{eqnarray*}$$

Si mirem la Taula 1, podem comprovar que es tracta d'una hipèrbola de centre (x₀,y₀) definit per

$$x_0=\frac{\frac 120-00}{-\frac 14}=0,\quad y_0=\frac{\frac 120-00}{-\frac 14}=0.$$

El pendent del seu eix x' és

$$k=\frac{0-0+\sqrt{(0-0)^2+4(1/2)^2}}{2\frac 12}=1,$$

i passa pel centre (0,0), per tant és la recta y=x. Aquest fet també es pot comprovar sabent que el gir és d'un angle $\alpha$ donat per

$$\tan(2\alpha)=\frac{2b}{a-c}=+\infty,$$

és a dir, $\alpha=\pi/2$. Podem comprovar aquesta informació dibuixant aquesta cònica amb l'ordre:

amb el resultat de la Figura 8.

  

Figure 9: Gràfica de la cònica x²+xy+2y²+x+y=1.

Exemple 2   Estudieu la cònica x²+xy+2y²+x+y=1.

Tenim a=1, b=d=e=1/2, c=2 i f=-1. Així:

$$\begin{eqnarray*}\Delta&=&\left\vert\begin{array}{rrr}1&1/2&1/2\\ 1/2&2&1/2\\ 1/... ...right\vert=-\frac 94,\\ \delta&=&2-\frac 14=\frac 74,\\ S&=&3. \end{eqnarray*}$$

La Taula 1 ens diu que és una el $\cdot$ lipse real. El centre és

$$x_0=\frac{1/4-1}{7/4}=-\frac 37,\quad y_0=\frac{1/4-1/2}{7/4}=-\frac 17$$

i el pendent del seu eix x' és

$$k=\frac{2-1+\sqrt{1+4\frac 14}}{2\frac 12}=2(1+\sqrt{2}).$$

Per tant la recta que conté aquest eix és $y=\frac 17+2(1+\sqrt{2})(x+\frac 37)$. La Figura 9 ens mostra la seva gràfica, obtinguda amb l'ordre

  

Figure 10: Gràfica de la cònica x²-2xy+y²+x+y=1.

Exercici 1   Comproveu que la cònica x²-2xy+y²+x+y=1 és una paràbola (Figura 10).

Exercici 2   Estudieu la cònica x²+2bxy+y²+2x+2y+1=0 per a b=0,2.

Exercici 3   Estudieu la cònica ax²+2xy+y²+2x+2y+1=0 per a a=-1,2.